O que é Função ??

Bom Pessoal, Dentre todas as relações em um determinado produto cartesiano, existe um tipo de subconjunto que é muito mais exigente mas que produz resultados de grande valor na Matemática. Este conceito é denominado função.

Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma aplicação f no produto cartesiano A×B, é definida como sendo uma relação em A×B, que satisfaz às duas propriedades:

1) Para cada xEA, existe yEB tal que (x,y)Ef :




2) Se (x,y1)Ef e (x,y2)Ef, então y1=y2 :



Uma notação usual para uma aplicação f definida no produto cartesiano

A×B, é f:A => B.

Observações sobre aplicações :

1) O primeiro ítem da Definição declara que todos os elementos de A devem estar relacionados com elementos de B.

2) O segundo ítem da Definição garante que um elemento de A deve estar associado com apenas um elemento em B.

3) Nem toda relação no produto cartesiano R² é uma aplicação, como mostra o exemplo seguinte :

K = {(x,y)ER² : x²+y²=1}


4) Em textos antigos, a palavra função era usada de uma forma bastante livre no lugar de aplicação, mas na literatura atual a palavra aplicação passou a ter outros nomes como: operador, transformação, funcional,…, e houve a necessidade de restringir a palavra função exclusivamente às situações em que o conjunto B é um subconjunto do conjunto R dos números reais. Clique aqui e continue Lendo...

Dicas Pro ENEM

A prova do Enem é construída de tal forma a privilegiar leitura, interpretação, e raciocínio. Dessa forma, não cabem perguntas do tipo "O que cai no Enem?". E, portanto, a preocupação do estudante deverá ser em como os assuntos serão abordados e que tipo de análises serão exigidas.

Mas é possível se preparar para essa avaliação praticando a leitura em textos coloquiais e formais, quadrinhos, diagramas e gráficos etc; mantendo-se atualizado através dos meios de comunicação; praticando a escrita, elaborando redações.

Estar "antenado" sobre os assuntos do momento, como questões relativas ao aquecimento global, à futura escassez de água, à demanda por formas alternativas de energia é sempre bom. Há outros assuntos que podem render temas para a redação como a relação entre esporte, educação e transformação social, educação e violência, etc. Mas "estar por dentro" desses assuntos não garante resultados positivos se o aluno não souber como lidar com esses conhecimentos e resolver problemas da forma como serão apresentados na prova.

Como é uma prova que privilegia leitura, os principais erros cometidos pelos alunos são decorrentes da falta de atenção e compreensão adequadas das propostas das questões. Portanto, não tenha medo e muito menos pressa de ler para que você potencialize a compreensão e tenha maiores chances de sucesso.

Com relação à véspera da prova, procure seguir seu ritmo normal, sem cometer excessos. Não invente nem tente seguir "receitas milagrosas" para melhorar seu rendimento na prova. Durma bem, acorde cedo, alimente-se adequadamente antes de sair de casa. Saia com antecedência para chegar dentro do horário e suprimir fatores adicionais de estresse. Ao iniciar a prova, concentre-se na leitura, tenha calma e paciência. E aproveite todo o tempo disponível para fazê-la. Não tenha pressa em sair da sala e não se preocupe com os colegas ao lado. Nessa prova eles não são seus concorrentes. A batalha é sua e por você mesmo. É uma questão de superação pessoal.

Boa sorte e boa prova! Clique aqui e continue Lendo...

Saiba Tudo Sobre o ENEM

1. Qual a principal diferença entre o Enem tradicional e o novo Enem?

Até 2008, o Enem era uma prova clássica com 63 questões interdisciplinares, sem articulação direta com os conteúdos ministrados no ensino médio, e sem a possibilidade de comparação das notas de um ano para outro. A proposta é reformular o Enem para que o exame possa ser comparável no tempo e aborde diretamente o currículo do ensino médio. O objetivo é aplicar quatro grupos de provas diferentes em cada processo seletivo, além de redação. O novo exame será composto por perguntas objetivas em quatro áreas do conhecimento: linguagens, códigos e suas tecnologias (incluindo redação); ciências humanas e suas tecnologias; ciências da natureza e suas tecnologias e matemáticas e suas tecnologias. Cada grupo de testes será composto por até 50 itens de múltipla escolha, aplicados em dois dias.

2. Por que mudar o Enem?

A grande vantagem que o MEC está buscando com o novo Enem é a reformulação do currículo do ensino médio. O vestibular nos moldes de hoje produz efeitos insalubres sobre o currículo do ensino médio, que está cada vez mais voltado para o acúmulo excessivo de conteúdos. A proposta é sinalizar para o ensino médio outro tipo de formação, mais voltada para a solução de problemas. Outra vantagem de um exame unificado é promover a mobilidade dos alunos pelo País. Centralizar os exames seletivos é mais uma forma de democratizar o acesso a todas as universidades.

3. Por que fazer o Enem 2009?

A média de desempenho obtida no Enem será imprescindível para pleitear uma vaga nas instituições de ensino superior que adotarem o exame como ferramenta de seleção, de maneira integral ou parcial. Além disso, o Enem continua a servir como referência para uma auto-avaliação sobre o ensino médio e qualidade do ensino, e sua nota continuará a ser critério de seleção de bolsas de estudo no Programa Universidade para Todos (ProUni).

4. Quem poderá participar do Enem 2009?

O Enem é voluntário, e podem participar alunos que concluem o ensino médio em 2009 ou aqueles que concluíram em anos anteriores.

5. É recomendável aos alunos que ainda não vão concluir o ensino médio neste ano fazer o Enem 2009?

Não. O Enem foi criado especificamente para os estudantes que estão no último ano ou que já concluíram o ensino médio. O Ministério da Educação aconselha que os alunos prestem o exame no período mais adequado, que é o ano de conclusão desse nível de ensino. Alunos de outras séries sempre terão oportunidade de se preparar para a prova analisando as edições anteriores do exame, que ficarão disponíveis na página do Inep/MEC imediatamente após sua aplicação.

6. Como serão as inscrições para o Enem 2009?

A logística de inscrições para o Enem 2009 ainda não está definida. A proposta inicial para o período de inscrições é de 15 de junho a 17 de julho.

7. Qual a taxa para inscrição no Enem 2009?

Alunos concluintes do ensino médio em escolas públicas se inscrevem ao Enem gratuitamente. Também são isentos de pagar taxa estudantes carentes da rede privada e estudantes que finalizaram os estudos em anos anteriores, desde que declarem situação de carência. Nas demais situações, o valor da taxa de inscrição é 35 reais, como no ano passado.

8. Qual o cronograma do Enem 2009?

As datas inicialmente previstas são:
Inscrições: 15 de junho a 17 de julho
Realização da prova: 3 e 4 de outubro de 2009
Divulgação dos resultados das quatro provas de múltipla escolha: 4 de dezembro de 2009
Divulgação do resultado final, incluindo a redação: 8 de janeiro de 2010

9. Quem vai elaborar a nova prova do Enem 2009?

As provas do Enem sempre são elaboradas por especialistas do Inep, e assim também será em 2009. A elaboração exige domínio da tecnologia em avaliação educacional empregada, que é especializada e complexa, e na qual o Inep possui experiência de mais de dez anos – Teoria da Resposta ao Item (TRI). As diretrizes dessa prova – isto é, objetivos, conteúdos, enfim, o desenho – é que serão definidas pelo Comitê de Governança.

10. O que é o Comitê de Governança e quais suas atribuições no novo Enem?

A pedido da Associação Nacional dos Dirigentes das Instituições Federais de Ensino Superior (Andifes), foi criado um Comitê de Governança. O Comitê tem entre suas responsabilidades discutir e acompanhar a elaboração do novo Enem e seu impacto no currículo do ensino médio. Fazem parte do Comitê de Governança representantes do Inep, do Ministério da Educação, da Andifes e do Conselho Nacional de Secretários de Educação (Consed). As principais dúvidas e sugestões sobre o Novo Enem estão sendo estudadas em reuniões desse Comitê.

11. Como será a prova?

O novo exame será composto por testes em quatro áreas de conhecimento: linguagens, códigos e suas tecnologias (incluindo redação); ciências humanas e suas tecnologias; ciências da natureza e suas tecnologias e matemáticas e suas tecnologias. Cada grupo de testes será composto por no máximo 50 itens de múltipla escolha, aplicados em dois dias. O Inep/MEC já divulgou o conjunto de habilidades exigidas em cada área de conhecimento e os conteúdos específicos do currículo associados a elas. Veja aqui.

12. Qual será o tempo de duração das provas?

A proposta inicial é de até duas horas e meia para a realização das provas objetivas de cada área, e uma hora e meia para a redação.

13. As disciplinas abordadas pela prova do Enem terão pesos diferentes?

A prova do Enem trará quatro notas diferentes, uma para cada área do conhecimento avaliada. Não haverá diferenciação dos pesos. O que pode ocorrer é que, nos processos seletivos, as instituições utilizem pesos diferenciados entre as áreas para classificar os candidatos, de acordo com os cursos pleiteados.

14. As questões da prova terão pesos diferentes?

A nova prova do Enem será estruturada na metodologia da Teoria da Resposta ao Item (TRI), que garante a comparabilidade das notas entre diferentes edições a partir da calibração do grau de dificuldade das questões. Dessa forma, diferentemente dos anos anteriores, as questões da prova do Enem serão distribuídas em graus diferenciados de complexidade. Isso significa que, no cálculo final da nota em cada área, as questões mais difíceis valem mais que as questões menos complexas.

15. Haverá questões regionais na prova do Enem?

Não. Nenhum exame do Inep/MEC contempla questões regionais. Todas as avaliações, como a Prova Brasil / Saeb, Enem etc., têm caráter nacional e devem garantir iguais condições de participação entre estudantes de qualquer lugar do País. Conteúdos regionais poderiam prejudicar estudantes entre as regiões diversas.

16. O Enem sempre foi uma avaliação diferenciada por priorizar a interpretação dos alunos em vez da chamada "decoreba". Essa característica será mantida?

Sim. A prova do Enem se diferencia das demais por ser estruturada em habilidades, incentivando o raciocínio e trazendo questões que medem o conhecimento dos alunos por meio de enfoque interdisciplinar. A nova prova vai manter essa característica, agregando às habilidades medidas um conjunto de conteúdos formais mais diretamente relacionado ao que é ministrado no ensino médio. Mas sem abandonar as questões contextualizadas, que exigem do estudante a aplicação prática do conhecimento, e não a mera memorização de informações.

17. Uma pessoa que não for bem no Enem 2009 terá a chance de fazer outra prova e melhorar a sua nota?

Sim, o aluno pode fazer o Enem quantas vezes quiser, mesmo que tenha concluído o ensino médio já há alguns anos.

18. Haverá mais de uma edição do Enem por ano?

A proposta inicial é a de que o Enem seja oferecido duas vezes por ano. O Enem 2009 será aplicado nos dias 3 e 4 de outubro, e uma nova edição deverá ser aplicada em março ou abril de 2010.

19. Como estudar para o novo Enem? Alunos que já estão se preparando para o vestibular tradicional serão prejudicados?

O novo Enem é estruturado levando em conta os conteúdos ministrados no ensino médio. A inovação é na forma de abordagem desses conteúdos, com foco no conjunto de habilidades que o aluno deve ter ao final do ensino médio, e não na mera acumulação de fórmulas e informações desvinculadas da aplicação. Ou seja, uma prova que valorize mais o raciocínio e não a chamada “decoreba”. Portanto, quem vem se preparando para uma prova tradicional de seleção e para o antigo Enem está preparado para o novo Enem.

20. A nova prova do Enem vai trazer questões sobre língua estrangeira?

O Comitê de Governança definiu que o Enem 2009 não trará questões de língua estrangeira. A partir da próxima edição da prova isso será abordado, e já consta da matriz de habilidades e conteúdos associados do Enem 2009.

21. O Inep/MEC vai disponibilizar um simulado com questões do novo Enem?

Sim. A previsão é que sejam disponibilizadas questões-modelo do novo Enem antes da aplicação da prova, em data a ser definida.

22. O Inep/MEC continuará a divulgar os resultados do Enem por escola?

Sim. Não está prevista nenhuma alteração na divulgação dos resultados dos alunos no Enem por escola.

23. Para fazer o Enem o interessado já deve ter decidido o curso ou instituição onde pretende prestar o vestibular?

Não. As inscrições para o novo Enem devem começar já em junho, e a prova será realizada em outubro. Os processos seletivos das instituições de ensino superior só devem iniciar-se em meados de dezembro. Na inscrição para o processo seletivo é que o aluno decide a qual curso quer concorrer.

O Sistema de Seleção Unificada

1. Como será o sistema de seleção unificada?

O candidato a uma vaga no ensino superior poderá concorrer a cinco cursos ou instituições, mas apenas naquelas universidades que adotarem o Enem como única forma de ingresso. As instituições que optarem utilizar o Enem como única avaliação para selecionar os ingressantes participarão de um Sistema de Seleção Unificada, informatizado e online. Nesse sistema, as universidades informarão quantas vagas têm disponíveis para cada curso, e qual é o peso que cada uma das grandes áreas do conhecimento terá na nota final do aluno – linguagens, códigos e suas tecnologias (incluindo redação e língua estrangeira); ciências humanas e suas tecnologias; ciências da natureza e suas tecnologias e matemática e suas tecnologias. O aluno que participou do Enem 2009 se inscreve no sistema, que calculará sua nota final, já com os pesos estabelecidos, e o aluno poderá simular inscrição em até cinco cursos ou instituições, durante todo o período em que o sistema ficar disponível na Internet. Caso a universidade decida utilizar o Enem como segunda fase ou com a nota do Enem agregada à nota de um vestibular próprio, a instituição deverá decidir e publicar as regras de inscrição e participação em seus editais. O Sistema de Seleção Unificada só será utilizado pelas instituições que escolherem o Enem como única forma de seleção.

2. A universidade que optar pelo Enem apenas na primeira fase da seleção pode participar do sistema de vestibular unificado?

Não. O Sistema de Seleção Unificada, informatizado e online, será aberto apenas às instituições/cursos que optarem por usar o Enem como fase única ou para preencher as vagas remanescentes ao fim da sua seleção.

3. Todas as instituições federais utilizarão o novo Enem como forma de seleção?

A expectativa do MEC é que todas instituições federais adotem de alguma forma o novo Enem como seleção. Esse processo está sendo construído em parceria pelo Ministério da Educação, universidades, comunidade acadêmica e os gestores estaduais, sempre levando em conta a autonomia das universidades e das redes. O Comitê de Governança do novo Enem definiu o prazo de três anos para a consolidação do processo de seleção unificada. Nesse período, as instituições poderão compatibilizar o novo formato de seleção com as políticas afirmativas já adotadas pelas universidades e com outras modalidades de seleção. São quatro as possibilidades de se utilizar a nota do Enem: como fase única; como primeira fase; como fase única para as vagas remanescentes, após o vestibular; ou combinado ao atual vestibular da instituição. Neste último caso, a universidade definirá o percentual da nota do Enem a ser utilizado para a construção de uma média junto com a nota da prova do vestibular. Cada IES divulgará em seus editais em qual formato participará em cada curso. O Comitê também definiu que, durante o período de implementação do sistema, um grupo de pesquisa constituído pelo Inep monitorará a migração das instituições federais de ensino superior para o novo processo seletivo. A proposta é avaliar as mudanças ocasionadas pelo novo método de ingresso dos alunos e, nos casos em que for necessário, propor adequações e aperfeiçoamentos ao sistema.

4. As Universidades são obrigadas a utilizar o novo Enem de alguma forma?

Não. As universidades têm total autonomia para escolher qual é a ferramenta de seleção para acesso a seus cursos.

5. Tecnicamente, as mudanças na prova do Enem garantirão a comparabilidade das notas entre diferentes edições. Por quanto tempo valerá a nota do aluno para concorrer a uma vaga nos processos seletivos?

Essa é uma decisão ainda pendente, a ser tomada em conjunto com o Comitê de Governança.

6. Qual é o prazo final para as universidades federais decidirem se vão aderir ao novo Enem para os processos seletivos do ano de 2009?

O MEC anuncia até o fim deste mês quais as universidades federais adotarão o novo Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) como critério de ingresso. As universidades que utilizarão o exame como fase única de seleção deverão se manifestar até o dia 20 de maio. Essa data foi estabelecida pelo Comitê de Governança. Vencido o prazo, será realizada uma reunião entre os reitores dessas universidades e o Comitê, para o aperfeiçoamento das regras do Sistema de Seleção Unificada.

7. Quem já terminou o ensino médio há muito tempo pode fazer o Enem e participar do vestibular unificado?

Sim, o Enem continua sendo uma prova voluntária, aberta a todos os concluintes ou egresso do Ensino Médio.

8. Após o resultado do Enem, o vestibulando pode mudar a opção de curso?

Em qualquer uma das quatro possibilidades de se usar o Novo Enem como ferramenta de seleção para as universidades, o candidato só escolherá o curso depois do resultado do Enem.
9. Por que aplicar o novo modelo em 2009, já que algumas instituições já haviam inclusive elaborado o edital relativo ao próximo vestibular?

O MEC trata a implantação do novo Enem como uma ação educacional prioritária, por isso programou a realização do exame para o segundo semestre deste ano. As mudanças ocorrerão de forma gradativa e as instituições foram convidadas para participar da elaboração do novo sistema, inclusive, compondo o Comitê de Governança, instância decisória em relação à nova prova. E embora o novo Enem seja aplicado ainda este ano, as instituições terão tempo hábil para optar pela forma de adesão, parcial ou integral, sem que haja maiores prejuízos. Clique aqui e continue Lendo...

História da Matemática

Apesar de todo material algébrico que tinham os babilônios e egípcios, só podemos encarar a matemática como ciência, no sentido moderno da palavra, a partir dos séculos VI e V A.C., na Grécia.

A matemática grega se distingue da babilônica e egípcia pela maneira de encará-la.

Os gregos fizeram-na uma ciência propriamente dita sem a preocupação de suas aplicações práticas.

Do ponto de vista de estrutura, a matemática grega se distingue da anterior, por ter levado em conta problemas relacionados com processos infinitos, movimento e continuidade.

As diversas tentativas dos gregos de resolverem tais problemas fizeram com que aparecesse o método axiomático-dedutivo.

O método axiomático-dedutivo consiste em admitir como verdadeiras certas preposições (mais ou menos evidentes) e a partir delas, por meio de um encadeamento lógico, chegar a proposições mais gerais.

As dificuldades com que os gregos depararam ao estudar os problemas relativos a processos infinitos (sobretudo problemas sobre números irracionais) talvez sejam as causas que os desviaram da álgebra, encaminhando-os em direção à geometria.

Realmente, é na geometria que os gregos se destacam, culminando com a obra de Euclides, intitulada "Os Elementos".

Sucedendo Euclides, encontramos os trabalhos de Arquimedes e de Apolônio de Perga.

Arquimedes desenvolve a geometria, introduzindo um novo método, denominado "método de exaustão", que seria um verdadeiro germe do qual mais tarde iria brotar um importante ramo de matemática (teoria dos limites).

Apolônio de Perga, contemporâneo de Arquimedes, dá início aos estudos das denominadas curvas cônicas: a elipse, a parábola, e a hipérbole, que desempenham, na matemática atual, papel muito importante.

No tempo de Apolônio e Arquimedes, a Grécia já deixara de ser o centro cultural do mundo. Este, por meio das conquistas de Alexandre, tinha-se transferido para a cidade de Alexandria.

Depois de Apolônio e Arquimedes, a matemática graga entra no seu ocaso.

A 10 de dezembro de 641, cai a cidade de Alexandria sob a verde bandeira de Alá. Os exércitos árabes, então empenhados na chamada Guerra Santa, ocupam e destroem a cidade, e com ela todas as obras dos gregos. A ciência dos gregos entra em eclipse.

Mas a cultura helênica era bem forte para sucumbir de um só golpe; daí por diante a matemática entra num estado latente.

Os árabes, na sua arremetida, conquistam a Índia encontrando lá um outro tipo de cultura matemática: a Álgebra e a Aritmética.

Os hindus introduzem um símbolo completamente novo no sistema de numeração até então conhecido: o ZERO.

Isto causa uma verdadeira revolução na "arte de calcular".

Dá-se início à propagação da cultura dos hindus por meio dos árabes. Estes levam à Europa os denominados "Algarismos arábicos", de invenção dos hindus.

Um dos maiores propagadores da matemática nesse tempo foi, sem dúvida, o árabe Mohamed Ibn Musa Alchwarizmi, de cujo nome resultaram em nossa língua as palavras algarismos e Algoritmo.

Alehwrizmi propaga a sua obra, "Aldschebr Walmakabala", que ao pé da letra seria: restauração e confonto. (É dessa obra que se origina o nome Álgebra).

A matemática, que se achava em estado latente, começa a se despertar.

No ano 1202, o matemático italiano Leonardo de Pisa, cognominado de "Fibonacci" ressuscita a Matemática na sua obra intitulada "Leber abaci" na qual descreve a "arte de calcular" (Aritmética e Álgebra). Nesse livro Leonardo apresenta soluções de equações do 1º, 2º e 3º graus.

Nessa época a Álgebra começa a tomar o seu sapecto formal. Um monge alemão. Jordanus Nemorarius já começa a utilizar letras para significar um número qualquer, e ademais introduz os sinais de + (mais) e - (menos) sob a forma das letras p (plus = mais) e m (minus = menos).

Outro matemático alemão, Michael Stifel, passa a utilizar os sinais de mais (+) e menos (-), como nós os utilizamos atualmente.

É a álgebra que nasce e se põe em franco desenvolvimento.

Tal desenvolvimento é finalmente consolidado na obra do matemático francês, François Viete, denominada "Algebra Speciosa".

Nela os símbolos alfabéticos têm uma significação geral, podendo designar números, segmentos de retas, entes geométricos etc.

No século XVII, a matemática toma nova forma, destacando-se de início René Descartes e Pierre Fermat.

A grande descoberta de R. Descartes foi sem dúvida a "Geometria Analítica" que, em síntese, consiste nas aplicações de métodos algébricos à geometria.

Pierre Fermat era um advogado que nas horas de lazer se ocupava com a matemática.

Desenvolveu a teoria dos números primos e resolveu o importante problema do traçado de uma tangente a uma curva plana qualquer, lançando assim, sementes para o que mais tarde se iria chamar, em matemática, teoria dos máximos e mínimos.

Vemos assim no século XVII começar a germinar um dos mais importantes ramos da matemática, conhecido como Análise Matemática.

Ainda surgem, nessa época, problemas de Física: o estudo do movimento de um corpo, já anteriormente estudados por Galileu Galilei. Clique aqui e continue Lendo...